Cross cap или скрещенный колпак

aleksandr128 — Sat, 25 Jun 2016 02:28:02 GMT

Смоделировать cross cap в трехмерном пространстве без самопересечений - задача из области фантастики. Вот, как дилетант в области "резиновой геометрии", попытаюсь немного пофантазировать. Так как при этом мне придется отойти от классических канонов моделирования кольца Мёбиуса, то здесь открывается поле для дискуссии по этой теме. Любые аргументированные возражения приветствуются.

Для описания своей фантазии буду использовать торовый метод моделирования колец Мёбиуса. Он позволяет сделать алгоритм предлагаемого решения задачи прозрачным и наглядным, помогает избегать лишнего словоблудия.

Классическое, полуоборотное, кольцо Мёбиуса в торе можно описывать движением одного радиус-вектора за два цикла (два оборота). При использовании такого метода моделирования кМ зададимся вопросом: а на каком этапе моделирования двусторонняя поверхность превращается в одностороннюю? Вопрос не праздный.

ПМСМ: превращение двусторонней поверхности в одностороннюю, в данном случае, происходит уже при завершении первого цикла, когда появляется точка сопряжения:

Чтобы сделать это предположение более наглядным, начнем второй цикл, но оставим его незавершенным:

О геометрии кольца (ленты, петле, листе) Мёбиуса

aleksandr128 — Wed, 16 Jul 2014 19:03:32 GMT

Начиная тему колец Мёбиуса (как один из примеров простой односторонней поверхности), хочу поблагодарить администратора сайта Tyomich'a за бесценную помощь в создании рисунков в 3-D графике. С примерами его работ вы имели возможность ознакомиться по главной странице сайта.

Преамбула

Примение торового метода моделирования колец Мёбиуса позволяет расширить их "ассортимент" и разобраться в их "сюрпризных" свойствах. Надо отметить, что на просторах Инета о кольце Мёбиуса и его геометрических особенностях можно найти массу всевозможного материала. Не претендуя на особую новизну в этой теме, я решил ознакомить вас с некоторыми находками. Цель - разобравшись с особенностями геометрии кольца Мёбиуса (в дальнейшем, для краткости - КМ), применять их в конструировании различных устройств.

---------------------------------------------
Прежде, чем приступить к описанию некоторых универсальных свойств КМ, считаю необходимым объяснить значения некоторых терминов, которые я буду использовать.

"Афганская лента" - закольцованная (подобно кольцу Мёбиуса) поверхность, но с закрутом на целое число оборотов. Является вариантом двусторонней поверхности.

"Бутерброд" - по внешнему виду напоминиет КМ, но состоит из нескольких"Афганских лент" (далее сокращенно- - АЛ) или одного КМ и одной или нескольких АЛ.

Линия сопряжения - в торовом варианте моделирования КМ - это внутренняя ось тора, по которой АЛ "сшивается" (или "склеивается") в КМ.

---------------------------------------------
1. При "расшивании" (разрезании) КМ любой векторности по линии сопряжения (средней линии) в итоге всегда получается АЛ (двухсторонняя поверхность).

Пример с трехвекторным КМ:

а) Непосредственно трехвекторное КМ

b) Трехвекторное КМ в разрезе

с) Трехвекторное КМ, "расшитое" по линии сопряжения, превращается в АЛ (тройная петля):

d) Получившаяся АЛ в разрезе:

---------------------------------------------
2. К односторонней поверхности невозможно построить параллельную к ней другую одностороннюю поверхность. Одна из них обязательно окажется двухсторонней.
В случае КМ параллельной к нему окажется АЛ.

Пример с трехвекторным КМ:

а) Трехвекторное КМ в тройной петле АЛ:

b) Км , окруженное АЛ, я и назвал "бутербродом". Эта слоеная структура хорошо "читается" на разрезе:

c) Простой пример использования принципа "бутерброда" для конструирования девайсов с геометрией КМ - конденсатор "КМ":

---------------------------------------------
3. КМ, встроенное в тор, не делит его внутренний объём не отдельные, изолированные области:

Добавлено (27 Январь 2013, 03:24)
---------------------------------------------
4. При моделировании торового КМ с числом векторов 4 и выше, при индексе, выраженном кратной дробью с четным числом в знаменателе (2/4, 2/6, 3/6, 4/6, 2/8 и т.д.), будут получаться несколько взаимопересеченных КМ различной сложности.

Для наглядности и понимания этого утверждения приведу несколько примеров.

Пример 1. Результат моделирования 4-хвекторного КМ при закруте в 2/4 оборота - два взаимопересеченных 2-хвекторных КМ:

Пример 2. Результат моделирования 6-тивекторного КМ при закруте в 2/6 оборота - два взаимопересеченных 3-хвекторных КМ (в разрезе):

Пример 3. Результат моделирования 6-тивекторного КМ при закруте в 3/6 оборота - три взаимопересеченных 2-хвекторных КМ (в разрезе):

Geometry of the Moebius strip

Cross cap или скрещенный колпак

О геометрии кольца (ленты, петле, листе) Мёбиуса