Главная Geometry of the Moebius strip Регистрация

Вход

Приветствую Вас Гость | RSSВторник, 27 Июнь 2017, 13:18
[ Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
Страница 1 из 11
Модератор форума: aleksandr128 
Форум » Геометрия листа Мёбиуса » "Сюрпризы" кольца Мёбиуса » О геометрии кольца (ленты, петле, листе) Мёбиуса (О многовекторных торовых кольцах Мёбиуса.)
О геометрии кольца (ленты, петле, листе) Мёбиуса
aleksandr128Дата: Понедельник, 04 Февраль 2013, 20:50 | Сообщение # 1
Генералиссимус
Группа: Модераторы
Сообщений: 116
Репутация: 3
Замечания: 0%
Статус: Offline
Начиная тему колец Мёбиуса (как один из примеров простой односторонней поверхности), хочу поблагодарить администратора сайта Tyomich'a за бесценную помощь в создании рисунков в 3-D графике. С примерами его работ вы имели возможность ознакомиться по главной странице сайта.

Преамбула

Примение торового метода моделирования колец Мёбиуса позволяет расширить их "ассортимент" и разобраться в их "сюрпризных" свойствах. Надо отметить, что на просторах Инета о кольце Мёбиуса и его геометрических особенностях можно найти массу всевозможного материала. Не претендуя на особую новизну в этой теме, я решил ознакомить вас с некоторыми находками. Цель - разобравшись с особенностями геометрии кольца Мёбиуса (в дальнейшем, для краткости - КМ), применять их в конструировании различных устройств.

---------------------------------------------
Прежде, чем приступить к описанию некоторых универсальных свойств КМ, считаю необходимым объяснить значения некоторых терминов, которые я буду использовать.

"Афганская лента" - закольцованная (подобно кольцу Мёбиуса) поверхность, но с закрутом на целое число оборотов. Является вариантом двусторонней поверхности.

"Бутерброд" - по внешнему виду напоминиет КМ, но состоит из нескольких"Афганских лент" (далее сокращенно- - АЛ) или одного КМ и одной или нескольких АЛ.

Линия сопряжения - в торовом варианте моделирования КМ - это внутренняя ось тора, по которой АЛ "сшивается" (или "склеивается") в КМ.

---------------------------------------------
1. При "расшивании" (разрезании) КМ любой векторности по линии сопряжения (средней линии) в итоге всегда получается АЛ (двухсторонняя поверхность).

Пример с трехвекторным КМ:

а) Непосредственно трехвекторное КМ



b) Трехвекторное КМ в разрезе



с) Трехвекторное КМ, "расшитое" по линии сопряжения, превращается в АЛ (тройная петля):



d) Получившаяся АЛ в разрезе:



---------------------------------------------
2. К односторонней поверхности невозможно построить параллельную к ней другую одностороннюю поверхность. Одна из них обязательно окажется двухсторонней.
В случае КМ параллельной к нему окажется АЛ.

Пример с трехвекторным КМ:

а) Трехвекторное КМ в тройной петле АЛ:



b) Км , окруженное АЛ, я и назвал "бутербродом". Эта слоеная структура хорошо "читается" на разрезе:



c) Простой пример использования принципа "бутерброда" для конструирования девайсов с геометрией КМ - конденсатор "КМ":





---------------------------------------------
3. КМ, встроенное в тор, не делит его внутренний объём не отдельные, изолированные области:



Добавлено (27 Январь 2013, 03:24)
---------------------------------------------
4. При моделировании торового КМ с числом векторов 4 и выше, при индексе, выраженном кратной дробью с четным числом в знаменателе (2/4, 2/6, 3/6, 4/6, 2/8 и т.д.), будут получаться несколько взаимопересеченных КМ различной сложности.

Для наглядности и понимания этого утверждения приведу несколько примеров.

Пример 1. Результат моделирования 4-хвекторного КМ при закруте в 2/4 оборота - два взаимопересеченных 2-хвекторных КМ:



Пример 2. Результат моделирования 6-тивекторного КМ при закруте в 2/6 оборота - два взаимопересеченных 3-хвекторных КМ (в разрезе):



Пример 3. Результат моделирования 6-тивекторного КМ при закруте в 3/6 оборота - три взаимопересеченных 2-хвекторных КМ (в разрезе):



Все равно всего на всех не хватит...
 
aleksandr128Дата: Среда, 13 Февраль 2013, 20:45 | Сообщение # 2
Генералиссимус
Группа: Модераторы
Сообщений: 116
Репутация: 3
Замечания: 0%
Статус: Offline
Возможно ли смоделировать другие примеры простой односторонней поверхности, отличающиеся от кольца Мёбиуса? На мой взгляд - возможно. При этом может проявиться некое отличие от "классического" КМ.
Как обычно, проще привести рисунок, чем долго и путано словоблудить.

Пример 1: двусторонняя поверхность с локальной односторонностью



Пример 2: одностороннее кольцо с перемычкой без закрута



Пример 3: кольцо, трансформированное в цилиндр с перемычкой без закрута



Пример 4: цилиндр с перемычкой без закрута (вариант 2)

Добавлено (13 Февраль 2013, 20:45)
---------------------------------------------
Все вышеприведенные примеры односторонней поверхности объединяют общие свойства - однокрайность (одна, общая, "береговая линия"), линия сопряжения (условная средняя линия - при разрезании по которой получается "афганская лента"), "бутерброднось" (при попытке построить параллнльную к ней поверхность) и классическая "одноцветность". Но...

Одностороннее кольцо (ОК) и односторонний цилиндр (ОЦ) имеют некоторое дополнительное свойство,которое отсутствует у кольца Мёбиуса. Если КМ представлено только двумя вариантами - правозаходное или левозаходное КМ, то ОК и ОЦ может быть представлено третьим вариантом - без закрута,. Такой вариант не имеет своего зеркального "оппонента".

И еще. Интересный результат получается, если ОК и ОЦ разрезать вдоль перемычки на две части. Они распадуться на два КМ с противоположными ("зеркальными") закрутами. Так же, как и в случае с разрезанием бутылкой Кляйна, только без самопересечений.


Все равно всего на всех не хватит...
 
aleksandr128Дата: Вторник, 12 Март 2013, 04:58 | Сообщение # 3
Генералиссимус
Группа: Модераторы
Сообщений: 116
Репутация: 3
Замечания: 0%
Статус: Offline
С профессиональной помощью Tyomich'a, его неуёмным энтузиазмом, появилась возможность подступиться к весьма интересной и многообещающей теме: "Кольца Мёбиуса в закрытом торе".
Что подразумевается под термином "закрытый тор"? Если кратко - это тор с самопересечением (см. картинку ниже):



Сразу отмечу, что КМ, смоделированные в закрытом торе, имеют замысловатую геометрию и плоский рисунок не в полной мере передает эту замысловатость. Такие КМ предпочтительнее изучать в 3D-графике.

Классическое (т.е. с закрутом в полоборота) кольцо Мёбиуса в закрытом торе (далее сокращенно КМЗ):





Трехвекторное КМЗ в 1/3 оборота:



Весьма интересна конфигурация у двухвекторного КМЗ с закрутом в полтора оборота.



Все равно всего на всех не хватит...
 
aleksandr128Дата: Пятница, 15 Март 2013, 20:51 | Сообщение # 4
Генералиссимус
Группа: Модераторы
Сообщений: 116
Репутация: 3
Замечания: 0%
Статус: Offline
Так как картинкой в 2D затруднительно передать всю сложность полученной поверхности, она была разделена на три сегмента и раскрашена в три разных цвета. В этом случае хорошо просматривается область самопересечения. Но, безусловно, такие поверхности лучше всего рассматривать и изучать в 3D-графике:







Для того, чтобы выделить линию самопересечения отдельных фрагментов кольца, была построена проекция края полутораоборотного КМЗ, где зеленым цветом показана линия самопересечения:



Все равно всего на всех не хватит...
 
aleksandr128Дата: Суббота, 29 Июнь 2013, 22:17 | Сообщение # 5
Генералиссимус
Группа: Модераторы
Сообщений: 116
Репутация: 3
Замечания: 0%
Статус: Offline
Различные типы кольца Мёбиуса, mobius strip, смоделированные в закрытом торе, даже в 3-D графике, достаточно сложны для простого зрительного анализа. Как пример - модель трехвекторного КМЗ с закрутом в 11/3 оборота с многочисленными самопоресечениями:
 

 


А сейчас - в разрезе:
 

 
На мой взгляд закрытый тор, как геометрическое тело, с некими физическими свойствами, достоин пристального изучения.
С помощью геометрии ленты Мёбиуса я попытался оконтурить поверхность закрытого тора одной запетлеванной кривой. Но для этого надо было каким-то образом  обойти две точки саомопересечений. Чтобы это выглядело примерно вот так:
 

 
Для построения такого контура в геометрии moebius strip (КМЗ) без заметных деформаций Tyomich предложил использовать модифицированную следующим образом поверхность закрытого тора:
 



Все равно всего на всех не хватит...
 
aleksandr128Дата: Понедельник, 12 Август 2013, 18:44 | Сообщение # 6
Генералиссимус
Группа: Модераторы
Сообщений: 116
Репутация: 3
Замечания: 0%
Статус: Offline
При таком подходе  в моделировагнии узловых контуров различной сложности (в закрытом торе) достаточно легко решается задача развязки узлов самопересечения и контур получается однолинейным и самозамкнутым.

Посмотрите пример: контур трехвекторного кольца Мёбиуса в закрытом торе с закрутом 11/3 оборота (4800)







Все равно всего на всех не хватит...
 
aleksandr128Дата: Понедельник, 12 Август 2013, 19:03 | Сообщение # 7
Генералиссимус
Группа: Модераторы
Сообщений: 116
Репутация: 3
Замечания: 0%
Статус: Offline
Крупрый план развязки:
 


Все равно всего на всех не хватит...
 
aleksandr128Дата: Четверг, 12 Сентябрь 2013, 19:45 | Сообщение # 8
Генералиссимус
Группа: Модераторы
Сообщений: 116
Репутация: 3
Замечания: 0%
Статус: Offline
Закрытый тор заинтересовал меня по той простой причине, что, на мой взгляд, область самопересечения является как-бы проекцией четырехмерной части пересечения в наше трехмерное пространство. Другими словами: часть закрытого тора принадлежит трехмерному пространству, а часть уходит в чтырехмерное.

Планирую попытаться сконструировать такой девайс, где с помощью катушки Мёбиуса и катушечного контура закрытого тора, создать в области самопересечения такое взаимодействие электормагнитных полей, что хрен его знает... "как-бы, где-то, местами потревожить четвертую мерность".
Продолжить эту тему планирую на ветке "Девайсы...".


Все равно всего на всех не хватит...
 
aleksandr128Дата: Среда, 16 Июль 2014, 21:03 | Сообщение # 9
Генералиссимус
Группа: Модераторы
Сообщений: 116
Репутация: 3
Замечания: 0%
Статус: Offline
Интересное свойство обнаруживается у "афганской ленты".

В отличие от кольца Мёбиуса, как примера односторонней поверхности, "афганская лента" является вариантом закольцованной двусторонней поверхности. Так вот, собранная в псевдокольцо Мёбиуса, "афганская лента", как поверхность, становиться параллельной самой себе. Т.е., она является примером самопараллельной поверхности.



Получается, что это атрибут односторонних поверхностей: любая двусторонняя поверхность, окружающая одностороннюю поверхность, может быть параллельной к самой себе, т.е. - самопараллельной! 

Это относится и к кольцу Мёбиуса, и бутылке Кляйна и любым другим примерам односторонней поверхности.


Все равно всего на всех не хватит...
 
Форум » Геометрия листа Мёбиуса » "Сюрпризы" кольца Мёбиуса » О геометрии кольца (ленты, петле, листе) Мёбиуса (О многовекторных торовых кольцах Мёбиуса.)
Страница 1 из 11
Поиск:

Copyright MyCorp © 2017Создать бесплатный сайт с uCozЯндекс.Метрика