|
О геометрии кольца (ленты, петле, листе) Мёбиуса
|
|
| aleksandr128 | Дата: Понедельник, 04 Февраля 2013, 20:50 | Сообщение # 1 |
 Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 148
Статус: Offline
| Начиная тему колец Мёбиуса (как один из примеров простой односторонней поверхности), хочу поблагодарить администратора сайта Tyomich'a за бесценную помощь в создании рисунков в 3-D графике. С примерами его работ вы имели возможность ознакомиться по главной странице сайта.
Преамбула
Примение торового метода моделирования колец Мёбиуса позволяет расширить их "ассортимент" и разобраться в их "сюрпризных" свойствах. Надо отметить, что на просторах Инета о кольце Мёбиуса и его геометрических особенностях можно найти массу всевозможного материала. Не претендуя на особую новизну в этой теме, я решил ознакомить вас с некоторыми находками. Цель - разобравшись с особенностями геометрии кольца Мёбиуса (в дальнейшем, для краткости - КМ), применять их в конструировании различных устройств.
---------------------------------------------
Прежде, чем приступить к описанию некоторых универсальных свойств КМ, считаю необходимым объяснить значения некоторых терминов, которые я буду использовать.
"Афганская лента" - закольцованная (подобно кольцу Мёбиуса) поверхность, но с закрутом на целое число оборотов. Является вариантом двусторонней поверхности.
"Бутерброд" - по внешнему виду напоминиет КМ, но состоит из нескольких"Афганских лент" (далее сокращенно- - АЛ) или одного КМ и одной или нескольких АЛ.
Линия сопряжения - в торовом варианте моделирования КМ - это внутренняя ось тора, по которой АЛ "сшивается" (или "склеивается") в КМ.
---------------------------------------------
1. При "расшивании" (разрезании) КМ любой векторности по линии сопряжения (средней линии) в итоге всегда получается АЛ (двухсторонняя поверхность).
Пример с трехвекторным КМ:
а) Непосредственно трехвекторное КМ
b) Трехвекторное КМ в разрезе
с) Трехвекторное КМ, "расшитое" по линии сопряжения, превращается в АЛ (тройная петля):
d) Получившаяся АЛ в разрезе:
---------------------------------------------
2. К односторонней поверхности невозможно построить параллельную к ней другую одностороннюю поверхность. Одна из них обязательно окажется двухсторонней.
В случае КМ параллельной к нему окажется АЛ.
Пример с трехвекторным КМ:
а) Трехвекторное КМ в тройной петле АЛ:
b) Км , окруженное АЛ, я и назвал "бутербродом". Эта слоеная структура хорошо "читается" на разрезе:
c) Простой пример использования принципа "бутерброда" для конструирования девайсов с геометрией КМ - конденсатор "КМ":
---------------------------------------------
3. КМ, встроенное в тор, не делит его внутренний объём не отдельные, изолированные области:
Добавлено (27 Январь 2013, 03:24)
---------------------------------------------
4. При моделировании торового КМ с числом векторов 4 и выше, при индексе, выраженном кратной дробью с четным числом в знаменателе (2/4, 2/6, 3/6, 4/6, 2/8 и т.д.), будут получаться несколько взаимопересеченных КМ различной сложности.
Для наглядности и понимания этого утверждения приведу несколько примеров.
Пример 1. Результат моделирования 4-хвекторного КМ при закруте в 2/4 оборота - два взаимопересеченных 2-хвекторных КМ:
Пример 2. Результат моделирования 6-тивекторного КМ при закруте в 2/6 оборота - два взаимопересеченных 3-хвекторных КМ (в разрезе):
Пример 3. Результат моделирования 6-тивекторного КМ при закруте в 3/6 оборота - три взаимопересеченных 2-хвекторных КМ (в разрезе):
Все равно всего на всех не хватит...
|
| |
| |
| aleksandr128 | Дата: Среда, 13 Февраля 2013, 20:45 | Сообщение # 2 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 148
Статус: Offline
| Возможно ли смоделировать другие примеры простой односторонней поверхности, отличающиеся от кольца Мёбиуса? На мой взгляд - возможно. При этом может проявиться некое отличие от "классического" КМ.
Как обычно, проще привести рисунок, чем долго и путано словоблудить.
Пример 1: двусторонняя поверхность с локальной односторонностью
Пример 2: одностороннее кольцо с перемычкой без закрута
Пример 3: кольцо, трансформированное в цилиндр с перемычкой без закрута
Пример 4: цилиндр с перемычкой без закрута (вариант 2)
Добавлено (13 Февраль 2013, 20:45)
---------------------------------------------
Все вышеприведенные примеры односторонней поверхности объединяют общие свойства - однокрайность (одна, общая, "береговая линия"), линия сопряжения (условная средняя линия - при разрезании по которой получается "афганская лента"), "бутерброднось" (при попытке построить параллнльную к ней поверхность) и классическая "одноцветность". Но...
Одностороннее кольцо (ОК) и односторонний цилиндр (ОЦ) имеют некоторое дополнительное свойство,которое отсутствует у кольца Мёбиуса. Если КМ представлено только двумя вариантами - правозаходное или левозаходное КМ, то ОК и ОЦ может быть представлено третьим вариантом - без закрута,. Такой вариант не имеет своего зеркального "оппонента".
И еще. Интересный результат получается, если ОК и ОЦ разрезать вдоль перемычки на две части. Они распадуться на два КМ с противоположными ("зеркальными") закрутами. Так же, как и в случае с разрезанием бутылкой Кляйна, только без самопересечений.
Все равно всего на всех не хватит...
|
| |
| |
| aleksandr128 | Дата: Вторник, 12 Марта 2013, 04:58 | Сообщение # 3 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 148
Статус: Offline
| С профессиональной помощью Tyomich'a, его неуёмным энтузиазмом, появилась возможность подступиться к весьма интересной и многообещающей теме: "Кольца Мёбиуса в закрытом торе".
Что подразумевается под термином "закрытый тор"? Если кратко - это тор с самопересечением (см. картинку ниже):
Сразу отмечу, что КМ, смоделированные в закрытом торе, имеют замысловатую геометрию и плоский рисунок не в полной мере передает эту замысловатость. Такие КМ предпочтительнее изучать в 3D-графике.
Классическое (т.е. с закрутом в полоборота) кольцо Мёбиуса в закрытом торе (далее сокращенно КМЗ):
Трехвекторное КМЗ в 1/3 оборота:
Весьма интересна конфигурация у двухвекторного КМЗ с закрутом в полтора оборота.
Все равно всего на всех не хватит...
|
| |
| |
| aleksandr128 | Дата: Пятница, 15 Марта 2013, 20:51 | Сообщение # 4 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 148
Статус: Offline
| Так как картинкой в 2D затруднительно передать всю сложность полученной поверхности, она была разделена на три сегмента и раскрашена в три разных цвета. В этом случае хорошо просматривается область самопересечения. Но, безусловно, такие поверхности лучше всего рассматривать и изучать в 3D-графике:
Для того, чтобы выделить линию самопересечения отдельных фрагментов кольца, была построена проекция края полутораоборотного КМЗ, где зеленым цветом показана линия самопересечения:
Все равно всего на всех не хватит...
|
| |
| |
| aleksandr128 | Дата: Суббота, 29 Июня 2013, 22:17 | Сообщение # 5 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 148
Статус: Offline
| Различные типы кольца Мёбиуса, mobius strip, смоделированные в закрытом торе, даже в 3-D графике, достаточно сложны для простого зрительного анализа. Как пример - модель трехвекторного КМЗ с закрутом в 11/3 оборота с многочисленными самопоресечениями:
А сейчас - в разрезе:
На мой взгляд закрытый тор, как геометрическое тело, с некими физическими свойствами, достоин пристального изучения.
С помощью геометрии ленты Мёбиуса я попытался оконтурить поверхность закрытого тора одной запетлеванной кривой. Но для этого надо было каким-то образом обойти две точки саомопересечений. Чтобы это выглядело примерно вот так:
Для построения такого контура в геометрии moebius strip (КМЗ) без заметных деформаций Tyomich предложил использовать модифицированную следующим образом поверхность закрытого тора:
Все равно всего на всех не хватит...
|
| |
| |
| aleksandr128 | Дата: Понедельник, 12 Августа 2013, 18:44 | Сообщение # 6 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 148
Статус: Offline
| При таком подходе в моделировагнии узловых контуров различной сложности (в закрытом торе) достаточно легко решается задача развязки узлов самопересечения и контур получается однолинейным и самозамкнутым.
Посмотрите пример: контур трехвекторного кольца Мёбиуса в закрытом торе с закрутом 11/3 оборота (4800)
Все равно всего на всех не хватит...
|
| |
| |
| aleksandr128 | Дата: Понедельник, 12 Августа 2013, 19:03 | Сообщение # 7 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 148
Статус: Offline
| Крупрый план развязки:
Все равно всего на всех не хватит...
|
| |
| |
| aleksandr128 | Дата: Четверг, 12 Сентября 2013, 19:45 | Сообщение # 8 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 148
Статус: Offline
| Закрытый тор заинтересовал меня по той простой причине, что, на мой взгляд, область самопересечения является как-бы проекцией четырехмерной части пересечения в наше трехмерное пространство. Другими словами: часть закрытого тора принадлежит трехмерному пространству, а часть уходит в чтырехмерное.
Планирую попытаться сконструировать такой девайс, где с помощью катушки Мёбиуса и катушечного контура закрытого тора, создать в области самопересечения такое взаимодействие электормагнитных полей, что хрен его знает... "как-бы, где-то, местами потревожить четвертую мерность".
Продолжить эту тему планирую на ветке "Девайсы...".
Все равно всего на всех не хватит...
|
| |
| |
| aleksandr128 | Дата: Среда, 16 Июля 2014, 21:03 | Сообщение # 9 |
|
Генералиссимус
Группа: Администраторы
Сообщений: 148
Статус: Offline
| Интересное свойство обнаруживается у "афганской ленты".
В отличие от кольца Мёбиуса, как примера односторонней поверхности, "афганская лента" является вариантом закольцованной двусторонней поверхности. Так вот, собранная в псевдокольцо Мёбиуса, "афганская лента", как поверхность, становиться параллельной самой себе. Т.е., она является примером самопараллельной поверхности.
Получается, что это атрибут односторонних поверхностей: любая двусторонняя поверхность, окружающая одностороннюю поверхность, может быть параллельной к самой себе, т.е. - самопараллельной!
Это относится и к кольцу Мёбиуса, и бутылке Кляйна и любым другим примерам односторонней поверхности.
Все равно всего на всех не хватит...
|
| |
| |
|
